블랙-숄즈 옵션 프라이싱(Black-Scholes Option Pricing)

수식으로 나타내어지는 개념을 설명하라고 할 때, 수식을 풀어 말하는 사람은 창의력이 부족한 사람이다.

알리안츠글로벌인베스터즈 이원일 대표

옵션(option)이란?
옵션은 만기일(maturity date)에 특정 자산(예: 주식, 이자율 등)을 특정 가격(exercise price)에 사거나 팔 수 있는 계약이자 권리이다. 그렇기 때문에 만기일에 특정 가격보다 자산의 가격이 높아지면 그 차익에서 옵션가격을 뺀 만큼의 이득을 볼 수 있다. 옵션은 공짜가 아니다. 반대로 자산의 가격이 특정 가격보다 낮으면 권리를 행사하지 않고 포기하기 때문에 옵션가격만큼의 손해를 보게 된다. 콜옵션(call option)은 자산을 살 수 있는 권리이고, 풋옵션(put option)은 팔 수 있는 권리이다. 따라서 풋옵션은 콜옵션과 반대로 자산가격이 특정가격보다 떨어져야 이익을 볼 수 있다.

옵션은 자산의 위험(risk)을 방어하기 위한 수단으로 사용된다. 주식을 하나 사고, 그 주식에 대한 콜옵션을 판다고 가정하자. 현재시점에서 콜옵션 가격만큼을 번다. 만기일에 주가가 오르면 콜옵션을 구입한 사람이 옵션을 행사하기 때문에 판매자에게 손해가 발생한다. 하지만 주식으로 돈을 벌게 되므로 이로 손실을 메꾼다. 반대로 주가가 떨어지면 주식은 손해이지만 콜옵션은 행사되지 않기 때문에 옵션을 판매하여 얻은 수익으로 주식으로 인한 손실을 메꾼다. 이렇게 위험을 방어할 수 있다.

블랙-숄즈 옵션 프라이싱 모델
옵션가격은 시장원칙에 의해 결정된다. 사려는 사람이 많으면 가격이 오르고 파려는 사람이 많으면 가격이 내린다. 옵션시장이 생긴지는 오래되었지만 블랙-숄즈 이전까지는 옵션의 가격을 결정하는 모델이 없었다.

블랙-숄즈가 옵션가격을 결정하는 방식은 위의 옵션으로 위험을 방어하는 예와 동일하다. 주식과 옵션으로 구성된 포트폴리오가 무위험 수익율을 내도록 방정식을 만드는 것이 옵션가격을 결정하는 핵심 아이디어이다. 즉, 옵션과 주식의 포트폴리오로 인한 차익거래가 불가능하도록 한다. 아이디어는 이렇지만 이를 실제로 구하려면 주가가 어떻게 움직이는가에 대한 (좀 어이없는)가정이 필요하며, 결론적으로 편미분 방정식을 풀어야 한다.

옵션의 델타(delta)
옵션의 델타란 기초자산 - 일반적으로 주식 - 의 가격변화에 대한 옵션의 가격변화의 비율을 말한다. 만약 옵션의 델타 값이 0.5라 하면 기초자산의 가격변화에 대해 옵션가격이 그 절반만큼 변한다는 것을 뜻한다. 주가가 $1 오르면 옵션은 $0.5 오른다. 이를 이용하여 헷징을 할 수 있다. 델타가 0.4일 때, 100개의 콜옵션을 팔고 0.4 * 100 = 40개의 주식을 산다고 가정하자. 이 경우 주식이 $1 올랐을 때, 옵션가격은 $0.4 오르고 0.4 * 100 = $40 의 손해를 본다. 하지만 이 때 1 * 40 = $40 의 이익을 주식으로 벌어 만회한다. 반대의 경우도 마찬가지다.

이를 확장하여 모든 자산의 델타값을 정의할 수 있다. 즉, 기초자산의 가격변화에 대한 파생상품의 가격변화가 된다. 이 때, 주식의 델타값은 1이다. 또한, 포트폴리오의 델타도 구할 수 있다. 포트폴리오의 델타는 각각 자산의 델타값과 그 수를 곱한 것을 모두 합하면 된다. 전체 포트폴리오의 델타값을 0으로 만드는 것을 델타헷징(Delta hedging)이라고 한다.